Placeholder

Ομάδες ΙΙ

3€

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του βιβλίου ΟΜΑΔΕΣ Ι
Περιλαμβάνει τέσσερα Κεφάλαια :
Κεφάλαιο 1 : Συμπληρωματικά θέματα
Κεφάλαιο 2 : Αβελιανές ομάδες
Κεφάλαιο 3 : Παραστάσεις ομάδων με μεταθέσεις
Κεφάλαιο 4 : Ελεύθερες ομάδες
Ιδιαίτερη σημασία δίνουμε στη διδακτική παρουσίαση του περιεχομένου . Σχεδόν όλα τα παραδείγματα είναι πηγαίας έμπνευσης.
Διευκρινίζουμε και τα πιο “ δυσνόητα θεωρήματα ” κατά τέτοιο τρόπο , ώστε ο αναγνώστης να καταλαβαίνει αυτά που διαβάζει .
Ας κάνουμε τώρα μια συνοπτική παρουσίαση του περιεχομένου :

Στο Κεφάλαιο 1 :
Υπενθυμίζουμε την έννοια της ομάδας .
Παρουσιάζουμε τη συμμετρική και την εναλλάσσουσα ομάδα .
Ακολούθως , μπαίνουμε στον χώρο των εφαρμογών :
Παρουσιάζουμε τις ομάδες ισομετριών .
Ορίζουμε τις ομάδες συμμετρίας σχήματος που έχουν εφαρμογές στην Κρυσταλλογραφία και στην Αλγεβρική Γεωμετρία .
Ορίζουμε τις συμμετρίες αλγεβρικών δομών (ομαδοειδών , σωμάτων , διανυσματικών χώρων ) .
Έτσι ,δημιουργείται ένα πρακτικό υπόβαθρο για την κατανόηση της χρησιμότητας της Θεωρίας των Ομάδων .
Μετά μπαίνουμε στις τεχνικές ανάλυσης των ομάδων .
Με τις κεντροσειρές και τις επιλύσιμες ομάδες γίνεται η αρχή !
Οι επιλύσιμες ομάδες σχετίζονται με τη Θεωρία του Galois .
Ένα σύνολο θεωρημάτων δημιουργεί σταθερή βάση για το συλλογίζεσθαι .
Με μια , κατά βάση , απλή διαδικασία “ αναγκαζόμαστε ” να ορίσουμε τις απλές ομάδες και τις συνθετοσειρές .
Το αποκορύφωμα είναι το Θεώρημα Jordan – Hölder με το οποίο γίνεται σύγκριση συνθετοσειρών . Διευκρινίζουμε και δίνουμε εφαρμογές στο θεώρημα , ώστε ο αναγνώστης να νιώθει σιγουριά γι’ αυτό που διαβάζει ως θεώρημα .
Μετά , αναλύουμε μεθοδικά και με πολλά παραδείγματα την ανάλυση μεταθέσεων σε κύκλους . Εδώ υπάρχει σκοπιμότητα . Αποδεικνύουμε ότι η εναλλάσσουσα ομάδα Αn είναι απλή ομάδα για n ≥ 5 και … επομένως η συμμετρική ομάδα Sn για n ≥ 5 δεν είναι επιλύσιμη ομάδα (το οποίο σημαίνει εκτός των άλλων, ότι για τις πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού ≥ 5 δεν μπορούμε να βρούμε τύπους με ριζικά που να δίνουν τις ρίζες τους ).

Στο Κεφάλαιο 2:
Ασχολούμαστε εδώ αποκλειστικά με Αβελιανές ομάδες οι οποίες μπορεί να είναι , είτε προσθετικές , είτε πολ/στικές .
Επιλέγουμε το προσθετικό συμβολισμό για τις Αβελιανές ομάδες, στη θεωρία , αφού όλοι μας αισθανόμαστε πολύ άνετα όταν έχουμε να κάνουμε με προσθέσεις .
Τα παραδείγματα είναι πρωτότυπα και αποφασιστικά για την κατανόηση του περιεχομένου ( και συγχρόνως απλά ).
Το ευθύ άθροισμα (είτε εσωτερικό είτε εξωτερικό) είναι έννοια απόφασιστικής σημασίας . Επειδή τελικά ασχολούμαστε σχεδόν πάντα με ευθύ άθροισμα , γι’ αυτό συχνά όταν λέμε ευθύ άθροισμα , εννοούμε “ καταχρηστικά βέβαια ” το εσωτερικό ευθύ άθροισμα . Το εξωτερικό ευθύ άθροισμα είναι “ εργαλείο επεκτάσεων ” επειδή πίσω από αυτό κρύβεται η έννοια του καρτεσιανού γινομένου συνόλων ,και γνωρίζουμε ότι αν Α και Β είναι δύο σύνολα , τότε το Α × Β είναι ένα νέο ευρύτερο σύνολο .
Οι “ ελεύθερες αβελιανές ομάδες ” είναι μια ειδική περίπτωση των “ ελεύθερων ομάδων ” που θα αναλύσουμε στο Κεφάλαιο 4 .
Έτσι ο αναγνώστης αν θέλει, μπορεί να ρίχνει και καμμιά “ παράλληλη ματιά ” στο ( τελευταίο ) Κεφάλαιο 4 .
Πάντως , με 3 εισαγωγικά προβλήματα μεταφέρουμε ουσιαστικές πληροφορίες για τις ελεύθερες αβελιανές ομάδες , επειδή ο “ επίσημος ορισμός ” , λέει τα ίδια πράγματα με άλλο τρόπο . Πίσω από αυτά“ πάντα κρύβονται καρτεσιανά γινόμενα ”, και κάποιοι μορφισμοί ομάδων .
Ακολούθως , ορίζουμε τις περιοδικές ομάδες ή ομάδες στρέψης ( torsion groups ) όπου υπενθυμίζουμε το σπουδαιότερο διδακτικό και ουσιαστικό μοντέλο : << Το ρολόϊ Zn >>
Η εμπλοκή των περιοδικών στοιχείων ομάδας ( “κάτι όπως οι αριθμοί στο συνηθισμένο ρολόϊ του σπιτιού ” ) με τα άλλα τα μη περιοδικά στοιχεία , επιβάλλει ένα ξεκαθάρισμα , δηλαδή τη διατύπωση σχετικών θεωρημάτων .
Μετά , ορίζουμε τη γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ,που είναι έννοιες παρόμοιες (αλλά διαφέρουν λίγο) με τις αντίστοιχες έννοιες της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ .
Στη ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ οι συντελεστές στους γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων , είναι αριθμοί από ένα σώμα ( π.χ. R ή C ) ενώ εδώ οι συντελεστές είναι ακέραιοι αριθμοί (συνήθεις ή όπως το ρολόϊ του σπιτιού ) .
Έτσι , διαπιστώνουμε κάποιες διαφορές σε έννοιες όπως η “ βαθμίδα Αβελιανής ομάδας ” που άλλοτε υπάρχει και άλλοτε δεν υπάρχει , ενώ στη ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ οι διανυσματικοί χώροι , πάντα έχουν κάποια διάσταση , είτε πεπερασμένη είτε άπειρη .
Αναλύουμε τελικά τις Αβελιανές ομάδες και διαπιστώνουμε ότι με προσέγγιση ισομορφίας πίσω από αυτές κρύβονται τελικά οι ομάδες

Z και << Ρολόϊ Zn >> n ≥ 2

και κάποιες ομομορφικές εικόνες .
Αναλύουμε διεξοδικά τον τύπο μιας πεπερασμένα παραγόμενης Αβελιανής ομάδας . Τα παραδείγματα μιλάνε από μόνα τους.
Το Κεφάλαιο αυτό κλείνει με τις διαιρέσιμες ομάδες , όπου το μοντέλο είναι η προσθετική Αβελιανή ομάδα Q των ρητών αριθμών .
Το Q και οι ομάδες Εp , όπου p πρώτος αριθμός , κλείνουν το θέμα οριστικά.

Στο Κεφάλαιο 3 :
Αποδεικνύουμε το βασικό θεώρημα του Cayley , ότι κάθε ομάδα είναι ισόμορφη με μια ομάδα μεταθέσεων .
Ακολούθως , γενικεύουμε παριστάνοντας τις ομάδες με μεταθέσεις ενός οποιουδήποτε συνόλου Χ .
Ορίζουμε τον βαθμό μιας παράστασης , και πότε μια παράσταση είναι πιστή και πότε όχι πιστή .
Στην επόμενη παράγραφο , ορίζουμε το ( δεξιό ) εγκάρσιο σύνολο , και παριστάνουμε μια ομάδα ως προς μια υποομάδα της . Στόχος είναι η απόδειξη του θεωρήματος του Frobenius , που είναι μια γενίκευση παραλλαγή του θεωρήματος του Cayley .
Εφαρμογή του θεωρήματος του Frobenius στις πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες , είναι το θεώρημα του O. Schreier .
Ακολούθως , αποδεικνύουμε το θεώρημα Marshall Hall που λέει ότι το πλήθος των υποομάδων μιας πεπερασμένα παραγόμενης ομάδας είναι πεπερασμένο .
Μετά , αποδεικνύουμε το περίφημο θεώρημα του A . I . Maltsheff που μας πληροφορεί κάτω από ποιες συνθήκες ο ομομορφισμός ομάδων φ : G → G είναι αυτομορφισμός (δηλαδή ισομορφισμός ) .
Οι εφαρμογές έχουν εδώ θεωρητικό χαρακτήρα .
Με ενημερωτικό χαρακτήρα ορίζουμε τις δυνατότητες επεκτάσεων ομάδων , καθώς και τις μεταβιβάσεις ( transfers ) χωρίς να εμβαθύνουμε .
Παρουσιάζουμε , για πληροφόρηση ,το θεώρημα του I . Schur που αποφαίνεται, για το πότε η παράγωγος ομάδα G′ είναι πεπερασμένη .

Στο Κεφάλαιο 4:
Ορίζουμε με πολλά απλά παραδείγματα , τις ελεύθερες ομάδες (είτε είναι Αβελιανές , είτε όχι ) .
Αποφασιστικό βήμα είναι η βαθιά κατανόηση της έννοιας της ελεύθερης ομάδας , γι’ αυτό προσέχουμε ιδιαίτερα στη διδακτική παρουσίαση των σχετικών εννοιών από την αρχή .
Το θεώρημα κλειδί και για τη θεωρία , και για τις εφαρμογές είναι το θεώρημα που λέει ότι :
Κάθε ομάδα είναι ομομορφική εικόνα κάποιας ελεύθερης ομάδας .
Έτσι , η ομάδα διαφέρει από την ελεύθερη ομάδα “ κατά ένα πυρήνα ομομορφισμού ομάδων ” .
Επειδή οι πυρήνες απεικονίζονται στο ουδέτερο στοιχείο ( που συνήθως παριστάνεται με το 1 ) της ομάδας σύνολο αφίξεως , επομένως , η γνώση των στοιχείων ( άρα και των παραστάσεων ) που είναι 1 είναι το κλειδί της κατανόησης .
Έτσι, οδηγούμαστε φυσιολογικά στον ορισμό ομάδας με τη βοήθεια ελεύθερων γεννητόρων και σχέσεων , ακριβώς επειδή οι ελεύθεροι γεννήτορες έχουν τη θεωρητική τους αφετηρία στις ελεύθερες ομάδες και οι σχέσεις έχουν τη θεωρητική τους αφετηρία στους πυρήνες των ομομορφικών απεικονίσεων
φ:F→A
όπου F ελεύθερη και Α απλή ομάδα .
Στα παραδείγματα που υπάρχουν ορίζουμε τη διεδρική ομάδα άπειρης τάξης .Υπενθυμίζουμε ότι γενικά η διεδρική ομάδα Dn έχει τάξη ( πλήθος στοιχείων ) 2n και παριστάνει την ομάδα συμμετρίας του κανονικού n – γώνου στο επίπεδο .
Στην τελευταία παράγραφο ασχολούμαστε περιληπτικά με τις υποομάδες ελεύθερων ομάδων .
Αποδεικνύουμε το θεώρημα του J.Nielsen O. Schreier, σύμφωνα με το οποίο,κάθε υποομάδα ελεύθερης ομάδας ,είναι επίσης ελεύθερη .
Το Κεφάλαιο τελειώνει με το θεώρημα του Howson , σύμφωνα με το οποίο, αν οι υποομάδες μιας ελεύθερης ομάδας έχουν πεπερασμένη βαθμίδα ( Rank), τότε και η τομή τους είναι επίσης υποομάδα με πεπερασμένη βαθμίδα .
Τo βιβλίo ΟΜΑΔΕΣ Ι μαζί με αυτό το βιβλίο ΟΜΑΔΕΣ ΙΙ , αποτελούν μια συμπαγή ενότητα γνώση στη ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ :
Απαραίτητη σε κάθε Επιστήμονα των Μαθηματικών .

SKU: 978-960-6747-49-6.
Σελίδες: 205 Category: .

Product Description

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Συμπληρωματικά θέματα
1. Συμμετρικές και εναλλάσσουσες ομάδες
2. Ομάδες και συμμετρίες
3. Η ομάδα των μετασχηματισμών του Möbius
4. Συμμετρίες αλγεβρικών δομών
5. Κεντροσειρές και επιλύσιμες ομάδες
6. Συνθετοσειρές και απλές ομάδες
Θεώρημα Jordan – Hölder

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Αβελιανές ομάδες
1.Αβελιανές ομάδες
2.Ομάδες στρέψης ( Περιοδικές ομάδες )
3.Αβελιανές ομάδες πεπερασμένα παραγόμενες
4.Διαιρέσιμες ομάδες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Παραστάσεις ομάδων με μεταθέσεις
1.Θεώρημα του Cayley
2.Παραστάσεις ομάδων με μεταθέσεις συνόλου
3.Βαθμός παράστασης
4.Παραστάσεις και πλευρικές κλάσεις
5.Θεώρημα του Frobenius
6.Εφαρμογές σε πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες
Θεώρημα O. Schreier
Θεώρημα Marshall Hall
Θεώρημα Maltscheff
7. Επεκτάσεις ομάδων
8. Μεταβιβάσεις . Θεώρημα I . Schur

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
Ελεύθερες ομάδες
1. Ελεύθερες ομάδες
2. Παραστάσεις ομάδων
3. Υποομάδες ελεύθερων ομάδων
Θεώρημα J. Nielsen – O. Schreier