20€

Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του βιβλίου ΟΜΑΔΕΣ Ι
Περιλαμβάνει τέσσερα Κεφάλαια :
Κεφάλαιο 1 : Συμπληρωματικά θέματα
Κεφάλαιο 2 : Αβελιανές ομάδες
Κεφάλαιο 3 : Παραστάσεις ομάδων με μεταθέσεις
Κεφάλαιο 4 : Ελεύθερες ομάδες
Ιδιαίτερη σημασία δίνουμε στη διδακτική παρουσίαση του περιεχομένου . Σχεδόν όλα τα παραδείγματα είναι πηγαίας έμπνευσης.
Διευκρινίζουμε και τα πιο “ δυσνόητα θεωρήματα ” κατά τέτοιο τρόπο , ώστε ο αναγνώστης να καταλαβαίνει αυτά που διαβάζει .
Ας κάνουμε τώρα μια συνοπτική παρουσίαση του περιεχομένου :

Στο Κεφάλαιο 1 :
Υπενθυμίζουμε την έννοια της ομάδας .
Παρουσιάζουμε τη συμμετρική και την εναλλάσσουσα ομάδα .
Ακολούθως , μπαίνουμε στον χώρο των εφαρμογών :
Παρουσιάζουμε τις ομάδες ισομετριών .
Ορίζουμε τις ομάδες συμμετρίας σχήματος που έχουν εφαρμογές στην Κρυσταλλογραφία και στην Αλγεβρική Γεωμετρία .
Ορίζουμε τις συμμετρίες αλγεβρικών δομών (ομαδοειδών , σωμάτων , διανυσματικών χώρων ) .
Έτσι ,δημιουργείται ένα πρακτικό υπόβαθρο για την κατανόηση της χρησιμότητας της Θεωρίας των Ομάδων .
Μετά μπαίνουμε στις τεχνικές ανάλυσης των ομάδων .
Με τις κεντροσειρές και τις επιλύσιμες ομάδες γίνεται η αρχή !
Οι επιλύσιμες ομάδες σχετίζονται με τη Θεωρία του Galois .
Ένα σύνολο θεωρημάτων δημιουργεί σταθερή βάση για το συλλογίζεσθαι .
Με μια , κατά βάση , απλή διαδικασία “ αναγκαζόμαστε ” να ορίσουμε τις απλές ομάδες και τις συνθετοσειρές .
Το αποκορύφωμα είναι το Θεώρημα Jordan – Hölder με το οποίο γίνεται σύγκριση συνθετοσειρών . Διευκρινίζουμε και δίνουμε εφαρμογές στο θεώρημα , ώστε ο αναγνώστης να νιώθει σιγουριά γι’ αυτό που διαβάζει ως θεώρημα .
Μετά , αναλύουμε μεθοδικά και με πολλά παραδείγματα την ανάλυση μεταθέσεων σε κύκλους . Εδώ υπάρχει σκοπιμότητα . Αποδεικνύουμε ότι η εναλλάσσουσα ομάδα Αn είναι απλή ομάδα για n ≥ 5 και … επομένως η συμμετρική ομάδα Sn για n ≥ 5 δεν είναι επιλύσιμη ομάδα (το οποίο σημαίνει εκτός των άλλων, ότι για τις πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού ≥ 5 δεν μπορούμε να βρούμε τύπους με ριζικά που να δίνουν τις ρίζες τους ).

Στο Κεφάλαιο 2:
Ασχολούμαστε εδώ αποκλειστικά με Αβελιανές ομάδες οι οποίες μπορεί να είναι , είτε προσθετικές , είτε πολ/στικές .
Επιλέγουμε το προσθετικό συμβολισμό για τις Αβελιανές ομάδες, στη θεωρία , αφού όλοι μας αισθανόμαστε πολύ άνετα όταν έχουμε να κάνουμε με προσθέσεις .
Τα παραδείγματα είναι πρωτότυπα και αποφασιστικά για την κατανόηση του περιεχομένου ( και συγχρόνως απλά ).
Το ευθύ άθροισμα (είτε εσωτερικό είτε εξωτερικό) είναι έννοια απόφασιστικής σημασίας . Επειδή τελικά ασχολούμαστε σχεδόν πάντα με ευθύ άθροισμα , γι’ αυτό συχνά όταν λέμε ευθύ άθροισμα , εννοούμε “ καταχρηστικά βέβαια ” το εσωτερικό ευθύ άθροισμα . Το εξωτερικό ευθύ άθροισμα είναι “ εργαλείο επεκτάσεων ” επειδή πίσω από αυτό κρύβεται η έννοια του καρτεσιανού γινομένου συνόλων ,και γνωρίζουμε ότι αν Α και Β είναι δύο σύνολα , τότε το Α × Β είναι ένα νέο ευρύτερο σύνολο .
Οι “ ελεύθερες αβελιανές ομάδες ” είναι μια ειδική περίπτωση των “ ελεύθερων ομάδων ” που θα αναλύσουμε στο Κεφάλαιο 4 .
Έτσι ο αναγνώστης αν θέλει, μπορεί να ρίχνει και καμμιά “ παράλληλη ματιά ” στο ( τελευταίο ) Κεφάλαιο 4 .
Πάντως , με 3 εισαγωγικά προβλήματα μεταφέρουμε ουσιαστικές πληροφορίες για τις ελεύθερες αβελιανές ομάδες , επειδή ο “ επίσημος ορισμός ” , λέει τα ίδια πράγματα με άλλο τρόπο . Πίσω από αυτά“ πάντα κρύβονται καρτεσιανά γινόμενα ”, και κάποιοι μορφισμοί ομάδων .
Ακολούθως , ορίζουμε τις περιοδικές ομάδες ή ομάδες στρέψης ( torsion groups ) όπου υπενθυμίζουμε το σπουδαιότερο διδακτικό και ουσιαστικό μοντέλο : << Το ρολόϊ Zn >>
Η εμπλοκή των περιοδικών στοιχείων ομάδας ( “κάτι όπως οι αριθμοί στο συνηθισμένο ρολόϊ του σπιτιού ” ) με τα άλλα τα μη περιοδικά στοιχεία , επιβάλλει ένα ξεκαθάρισμα , δηλαδή τη διατύπωση σχετικών θεωρημάτων .
Μετά , ορίζουμε τη γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία ,που είναι έννοιες παρόμοιες (αλλά διαφέρουν λίγο) με τις αντίστοιχες έννοιες της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ .
Στη ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ οι συντελεστές στους γραμμικούς συνδυασμούς διανυσμάτων , είναι αριθμοί από ένα σώμα ( π.χ. R ή C ) ενώ εδώ οι συντελεστές είναι ακέραιοι αριθμοί (συνήθεις ή όπως το ρολόϊ του σπιτιού ) .
Έτσι , διαπιστώνουμε κάποιες διαφορές σε έννοιες όπως η “ βαθμίδα Αβελιανής ομάδας ” που άλλοτε υπάρχει και άλλοτε δεν υπάρχει , ενώ στη ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ οι διανυσματικοί χώροι , πάντα έχουν κάποια διάσταση , είτε πεπερασμένη είτε άπειρη .
Αναλύουμε τελικά τις Αβελιανές ομάδες και διαπιστώνουμε ότι με προσέγγιση ισομορφίας πίσω από αυτές κρύβονται τελικά οι ομάδες

Z και << Ρολόϊ Zn >> n ≥ 2

και κάποιες ομομορφικές εικόνες .
Αναλύουμε διεξοδικά τον τύπο μιας πεπερασμένα παραγόμενης Αβελιανής ομάδας . Τα παραδείγματα μιλάνε από μόνα τους.
Το Κεφάλαιο αυτό κλείνει με τις διαιρέσιμες ομάδες , όπου το μοντέλο είναι η προσθετική Αβελιανή ομάδα Q των ρητών αριθμών .
Το Q και οι ομάδες Εp , όπου p πρώτος αριθμός , κλείνουν το θέμα οριστικά.

Στο Κεφάλαιο 3 :
Αποδεικνύουμε το βασικό θεώρημα του Cayley , ότι κάθε ομάδα είναι ισόμορφη με μια ομάδα μεταθέσεων .
Ακολούθως , γενικεύουμε παριστάνοντας τις ομάδες με μεταθέσεις ενός οποιουδήποτε συνόλου Χ .
Ορίζουμε τον βαθμό μιας παράστασης , και πότε μια παράσταση είναι πιστή και πότε όχι πιστή .
Στην επόμενη παράγραφο , ορίζουμε το ( δεξιό ) εγκάρσιο σύνολο , και παριστάνουμε μια ομάδα ως προς μια υποομάδα της . Στόχος είναι η απόδειξη του θεωρήματος του Frobenius , που είναι μια γενίκευση παραλλαγή του θεωρήματος του Cayley .
Εφαρμογή του θεωρήματος του Frobenius στις πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες , είναι το θεώρημα του O. Schreier .
Ακολούθως , αποδεικνύουμε το θεώρημα Marshall Hall που λέει ότι το πλήθος των υποομάδων μιας πεπερασμένα παραγόμενης ομάδας είναι πεπερασμένο .
Μετά , αποδεικνύουμε το περίφημο θεώρημα του A . I . Maltsheff που μας πληροφορεί κάτω από ποιες συνθήκες ο ομομορφισμός ομάδων φ : G → G είναι αυτομορφισμός (δηλαδή ισομορφισμός ) .
Οι εφαρμογές έχουν εδώ θεωρητικό χαρακτήρα .
Με ενημερωτικό χαρακτήρα ορίζουμε τις δυνατότητες επεκτάσεων ομάδων , καθώς και τις μεταβιβάσεις ( transfers ) χωρίς να εμβαθύνουμε .
Παρουσιάζουμε , για πληροφόρηση ,το θεώρημα του I . Schur που αποφαίνεται, για το πότε η παράγωγος ομάδα G′ είναι πεπερασμένη .

Στο Κεφάλαιο 4:
Ορίζουμε με πολλά απλά παραδείγματα , τις ελεύθερες ομάδες (είτε είναι Αβελιανές , είτε όχι ) .
Αποφασιστικό βήμα είναι η βαθιά κατανόηση της έννοιας της ελεύθερης ομάδας , γι’ αυτό προσέχουμε ιδιαίτερα στη διδακτική παρουσίαση των σχετικών εννοιών από την αρχή .
Το θεώρημα κλειδί και για τη θεωρία , και για τις εφαρμογές είναι το θεώρημα που λέει ότι :
Κάθε ομάδα είναι ομομορφική εικόνα κάποιας ελεύθερης ομάδας .
Έτσι , η ομάδα διαφέρει από την ελεύθερη ομάδα “ κατά ένα πυρήνα ομομορφισμού ομάδων ” .
Επειδή οι πυρήνες απεικονίζονται στο ουδέτερο στοιχείο ( που συνήθως παριστάνεται με το 1 ) της ομάδας σύνολο αφίξεως , επομένως , η γνώση των στοιχείων ( άρα και των παραστάσεων ) που είναι 1 είναι το κλειδί της κατανόησης .
Έτσι, οδηγούμαστε φυσιολογικά στον ορισμό ομάδας με τη βοήθεια ελεύθερων γεννητόρων και σχέσεων , ακριβώς επειδή οι ελεύθεροι γεννήτορες έχουν τη θεωρητική τους αφετηρία στις ελεύθερες ομάδες και οι σχέσεις έχουν τη θεωρητική τους αφετηρία στους πυρήνες των ομομορφικών απεικονίσεων
φ:F→A
όπου F ελεύθερη και Α απλή ομάδα .
Στα παραδείγματα που υπάρχουν ορίζουμε τη διεδρική ομάδα άπειρης τάξης .Υπενθυμίζουμε ότι γενικά η διεδρική ομάδα Dn έχει τάξη ( πλήθος στοιχείων ) 2n και παριστάνει την ομάδα συμμετρίας του κανονικού n – γώνου στο επίπεδο .
Στην τελευταία παράγραφο ασχολούμαστε περιληπτικά με τις υποομάδες ελεύθερων ομάδων .
Αποδεικνύουμε το θεώρημα του J.Nielsen O. Schreier, σύμφωνα με το οποίο,κάθε υποομάδα ελεύθερης ομάδας ,είναι επίσης ελεύθερη .
Το Κεφάλαιο τελειώνει με το θεώρημα του Howson , σύμφωνα με το οποίο, αν οι υποομάδες μιας ελεύθερης ομάδας έχουν πεπερασμένη βαθμίδα ( Rank), τότε και η τομή τους είναι επίσης υποομάδα με πεπερασμένη βαθμίδα .
Τo βιβλίo ΟΜΑΔΕΣ Ι μαζί με αυτό το βιβλίο ΟΜΑΔΕΣ ΙΙ , αποτελούν μια συμπαγή ενότητα γνώση στη ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ :
Απαραίτητη σε κάθε Επιστήμονα των Μαθηματικών .