CONSTANTINOS KYVENTIDIS, Hypermathematician » Products

Θεωρία Συνόλων

kyventi — Sat, 12 Oct 2013 08:52:29 +0000

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Στοιχειώδης θεωρία συνόλων
1. Σύνολα και υποσύνολα
1α. Ασκήσεις
2. Βασικές πράξεις στα σύνολα
2α. Ασκήσεις
3. Σύνολα αριθμών
3α. Ασκήσεις
4. Απεικονίσεις – Συναρτήσεις
4α . Ασκήσεις
5. Καρτεσιανό γινόμενο
5α. Ασκήσεις
6. Σχέσεις ( διμελείς )
6α. Ασκήσεις
7. Συνολοθεωρητικά θέματα
7α. Ασκήσεις
8. Απεικονισιακά / Συναρτησιακά θέματα
8α. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Αξίωμα της επιλογής
1. Πληθάριθμοι ( Cardinal numbers )
1α. Ασκήσεις
2. Διατεταγμένα σύνολα
2α. Ασκήσεις
3. Διατακτικοί αριθμοί ( Ordinal numbers )
3α. Ασκήσεις
4.Αξίωμα της επιλογής / Λήμμα του Zorn / Θεώρημα της
καλής διάταξης ( Zermelo )
4α. Ασκήσεις
6.Παράδοξα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Συμπληρωματικά θέματα
1.Η αναγκαιότητα αξιωματικής τεκμηρίωσης
2.Αξίωμα Zermelo – Frankel ( Z F )
3.Αξιώματα von Neumann – Bernays ( v N B )
4.Δικτυωτά
5.Άλγεβρες του Boole
6.Iδεώδη δικτυωτού
7.Φίλτρα δικτυωτού
8. Μια αξιωματική εισαγωγή του R

AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1o Κεφάλαιο
2ο Κεφάλαιο

Λογική

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 08:57:23 +0000

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Άλγεβρα των προτάσεων
1. Προτάσεις
2. Σύζευξη ⋀
3. Διάζευξη ⋁
4. Άρνηση ~
5. Συνεπαγωγή ( → )
6. Ισοδυναμία ( ↔ )
7. Πολυώνυμα του Boole
8. Πίνακες αλήθειας προτάσεων
9. Ταυταληθείς και Ταυτοψευδείς προτάσεις
10. Λογική ισοδυναμία ή λογική ισότητα ( ≡ )
11. Άλγεβρα των προτάσεων
12. Λογική συνεπαγωγή ( ⇒ )
13. Λογική ισοδυναμία ( ⇔ )
14. Αποκλειστική διάζευξη ⊻ ( είτε … είτε )
15. Από κοινού άρνηση ↓ ( ούτε … ούτε )
16. Συμβολισμοί
17. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Ποσοδείκτες
1.Προτασιακοί τύποι μιας μεταβλητής (παραμέτρου)
2.Καθολικός ποσοδείκτης ∀
3.Υπαρξιακός ποσοδείκτης ∃
4.Άρνηση προτάσεων με ποσοδείκτες
5.Αντιπαράδειγμα
6.Συμβολισμοί – Γενικεύσεις
7.Προτασιακοί τύποι πολλών μεταβλητών (παραμέτρων).
8.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Άλγεβρα του Boole
1.Ορισμός της Άλγεβρας Boole
2.Δυϊσμός στην Άλγεβρα Boole
3.Βασικά θεωρήματα
4.Διάταξη στην Άλγεβρα Boole
5.Κυκλώματα διακοπτών
6.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
Λογική επιχειρηματολογία
1.Επιχειρηματολογία
2.Διαγράμματα Venn
3.Επιχειρήματα και προτάσεις
4.Επιχειρήματα και ποσοδείκτες .
5.Επιχειρήματα συνεπαγωγής
6.Ασκήσεις

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Γραμμική Άλγεβρα Ι

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:01:34 +0000

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Γραμμικά συστήματα
1.Γραμμική εξίσωση
2.Ασκήσεις
3.Γραμμικό σύστημα
4.Ασκήσεις
5.Ειδική περίπτωση : Το ομογενές σύστημα
6.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Πίνακες
1.Οι πίνακες και οι πράξεις τους
2.Ασκήσεις
3.Τάξη πίνακα ( rank )
4.Ασκήσεις
5.Αντιστρέψιμοι πίνακες
6.Ασκήσεις
7.Ταξινόμηση πινάκων
8.Ασκήσεις
9.Πίνακες και γραμμικά συστήματα
10.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Ορίζουσες
1.Μεταθέσεις
2.Ασκήσεις
3.Ορισμός της ορίζουσας
4.Ασκήσεις
5.Ιδιότητες των οριζουσών
6.Ασκήσεις
7.Τύπος αντίστροφου πίνακα
8.Ασκήσεις
9.Ορίζουσες και γραμμικά συστήματα
10.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
Διανυσματικοί χώροι
1.Διανυσματικός χώρος
2.Ασκήσεις
3.Διανυσματικός υποχώρος
4.Ασκήσεις
5.Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
6.Ασκήσεις
7.Γραμμικό περίβλημα συνόλου διανυσμάτων
8.Ασκήσεις
9.Γραμμoχώρος / Στηλοχώρος πίνακα
10.Ασκήσεις
11.Άθροισμα διανυσματικών χώρων
12.Ασκήσεις
13.Διανυσματικός χώρος πηλίκο
14.Ασκήσεις
15.Γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία διανυσμάτων
16.Βάση διανυσματικού χώρου
17.Ασκήσεις

Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας Ι

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:03:45 +0000

Κεφάλαιο 1 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
► Γραμμική εξίσωση
► Γραμμικό σύστημα
► Ειδική περίπτωση : Το ομογενές σύστημα

Κεφάλαιο 2 : ΠΙΝΑΚΕΣ
►Οι πίνακες και οι πράξεις τους
►Τάξη ( rank ) πίνακα
►Αντιστρέψιμοι πίνακες
►Ταξινόμηση πινάκων
►Πίνακες και γραμμικά συστήματα

Κεφάλαιο 3 : ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
►Μεταθέσεις
►Ορισμός της ορίζουσας
►Ιδιότητες των οριζουσών
►Τύπος αντίστροφου πίνακα
►Ορίζουσες και γραμμικά συστήματα

Κεφάλαιο 4 : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ
►Διανυσματικός χώρος
►Διανυσματικός υποχώρος
►Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
►Γραμμικό περίβλημα συνόλου διανυσμάτων
►Γραμμοχώρος / Στηλοχώρος πίνακα
►Άθροισμα διανυσματικών χώρων
►Διανυσματικός χώρος πηλίκο
►Γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία διανυσμάτων
►Βάση διανυσματικού χώρου

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:05:22 +0000

Αυτό το βιβλίο είναι η συνέχεια του βιβλίου μου ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι . Γι’ αυτό, αυτό το βιβλίο (ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ ) περιέχει σε συνεχόμενη αρίθμηση τα κεφάλαια 5 , 6 , 7 που έχουν συγκεκριμένο εννοιολογικό περιεχόμενο . Στο κεφάλαιο 5 αναλύουμε διεξοδικά τις γραμμικές απεικονίσεις . Στο κεφάλαιο 6 μελετάμε τους πίνακες των γραμμικών απεικονίσεων . Στο κεφάλαιο 7 παρουσιάζουμε με διδακτικό και αναλυτικό τρόπο τον δυϊκό χώρο . Για πρώτη φορά στον Πλανήτη Γη εμφανίζονται τα σύμβολά μου (για τον δυϊκό χώρο) τα οποία είναι αποφασιστικής σημασίας για την ουσιαστική (και όχι επιφανειακή) κατανόηση του δυϊκού χώρου . Τέλος , στον επόμενο τόμο ( ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙΙ ) ολοκληρώνουμε ( κεφ. 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) την θεματική ενότητα της ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ .

Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:06:49 +0000

Κεφάλαιο 5 : ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ
∙ Γραμμική απεικόνιση
∙ Ισομορφισμοί δ.χ.
∙ Πυρήνας και Εικόνα γραμμικής απεικόνισης
∙ Γραμμικοί τελεστές

Κεφάλαιο 6 : ΠΙΝΑΚΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ
∙ Αλλαγή βάσης δ.χ.
∙ Πυρήνας γραμμικής απεικόνισης
∙ Επίδραση της αλλαγής βάσεων / βάσης

Κεφάλαιο 7 : ΔΥΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ
∙ Δυϊκός χώρος
∙ Μηδενιστής
∙ Αναστροφή γραμμικής απεικόνισης

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙΙ

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:08:48 +0000

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8
Διαγωνιοποίηση και τριγωνοποίηση τελεστών
1. Ιδιοτιμές και Ιδιοχώροι
2. Ασκήσεις
3. Διαγωνιοποίηση
4. Ασκήσεις
5. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο
6. Ασκήσεις
7. Ελάχιστο πολυώνυμο
8. Ασκήσεις
9. Τριγωνοποίηση
10. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9
Κανονικές μορφές τελεστών
1. Αναλλοίωτοι υποχώροι
2. Ασκήσεις
3. Βασική ανάλυση τελεστή
4. Ασκήσεις
5. Μηδενοδύναμοι τελεστές
6. Ασκήσεις
7. Κανονική μορφή Jordan
8. Ασκήσεις
9. Κυκλικοί υποχώροι
10. Ασκήσεις
11. Κανονική μορφή Rational
12. Ασκήσεις
13. Προβολές
14. Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10
Εισαγωγή στο μήκος
1.Διγραμμικές μορφές
2.Ασκήσεις
3.Αντισυμμετρικές διγραμμικές μορφές
4.Ασκήσεις
5.Συμμετρικές διγραμμικές μορφές
6.Ασκήσεις
7.Hermitian μορφές
8.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11
Μήκος και γωνία διανυσμάτων
1.Μήκος διανύσματος
2.Ασκήσεις
3.Γωνία διανυσμάτων
4.Ασκήσεις
5.Ορθοκανονική βάση δ.χ
6.Ασκήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12
Ειδικοί τελεστές
1. Τελεστής Προσαρτημένος ( Adjoint )
2. Ασκήσεις
3. Ορθογώνιος / Ενοποιημένος τελεστής
4. Ασκήσεις
5. Θετικοί τελεστές
6. Ασκήσεις
7. Κανονικές μορφές σε Ευκλείδειους χώρους
8. Ασκήσεις
9. Κανονικές μορφές σε Ενοποιημένους χώρους
10. Ασκήσεις
11. Φασματικό θεώρημα ( Spectral Theorem )
12. Ασκήσεις
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Ασκήσεις Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙΙ

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:09:57 +0000

Κεφάλαιο 8 : ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ
∙ Ιδιοτιμές και Ιδιοχώροι
∙ Διαγωνιοποίηση
∙ Χαρακτηριστικό πολυώνυμο
∙ Ελάχιστο πολυώνυμο
∙ Τριγωνοποίηση

Κεφάλαιο 9 : ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ
∙ Αναλλοίωτοι υποχώροι
∙ Βασική ανάλυση τελεστή
∙ Μηδενοδύναμοι τελεστές
∙ Κανονική μορφή Jordan
∙ Κυκλικοί υποχώροι
∙ Κανονικοί μορφή Rational
∙ Προβολές

Κεφάλαιο 10 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΗΚΟΣ
∙ Διγραμμικές μορφές
∙ Αντισυμμετρικές διγραμμικές μορφές
∙ Συμμετρικές διγραμμικές μορφές
∙ Hermitian μορφές

Κεφάλαιο 11 : ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
∙ Μήκος διανύσματος
∙ Γωνία διανυσμάτων
∙ Ορθοκανονική βάση δ.χ.

Κεφάλαιο 12 : ΕΙΔΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ
∙ Τελεστής προσαρτημένος ( Adjoint )
∙ Ορθογώνιος / Ενοποιημένος τελεστής
∙ Θετικοί τελεστές
∙ Κανονικές μορφές σε Ευκλείδειους χώρους
∙ Κανονικές μορφές σε Ενοποιημένους χώρους
∙ Φασματικό θεώρημα ( Spectral Theorem )

Θεωρία Αριθμών Ι

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:11:09 +0000

Σε πέντε κεφάλαια 1)Διαιρετότητα 2) Πρώτοι αριθμοί 3) Στοιχειώδεις εφαρμογές 4) Περιοδικοί αριθμοί 5) Θεωρήματα αναπτύσσουμε τη στοιχειώδη ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ . Συγκεκριμένα : • Στο Κεφάλαιο 1: Παρουσιάζουμε συνοπτικά τη δόμηση του συνόλου N των φυσικών αριθμών από τα αξιώματα του Peano . Τονίζουμε τις δύο μορφές της μαθηματικής επαγωγής . Σε “ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑ” παρουσιάζουμε συνοπτικά αλλά επί της ουσίας τη μέθοδο της υπερπεπερασμένης επαγωγής που είναι η γενίκευση της γνωστής μαθηματικής επαγωγής . Ορίζουμε την Ευκλείδεια διαίρεση που έχει μικροδιαφορές με τη συνήθη διαίρεση φυσικών αριθμών , και με παραδείγματα και εφαρμογές εισάγουμε τον αναγνώστη κατ’ ευθείαν στην ουσία του θέματος . Ορίζουμε τη διαιρετότητα στο σύνολο Z των ακεραίων αριθμών και ταξινομούμε μνημονικά - λογικά του νόμους της διαιρετότητας . Οι εφαρμογές τονίζουν συγχρόνως, στοιχειώδεις βασικές τεχνικές της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών .Ακολούθως εισάγουμε τον αναγνώστη στο Μ.Κ.Π. και το Ε.Κ.Π. με πολλούς αριθμούς .Φυσικά ο Μ.Κ.Δ. είναι “ σπουδαιότερος από το Ε.Κ.Π. ” ή καλύτερα το Ε.Κ.Π. σχετίζεται με τον Μ.Κ.Δ. αλλά εμείς εδώ υπογραμίζουμε την στοιχειώδη οδό. Σχολιάζουμε την αναγκαιότητα λογικά ορθού ορισμού του Μ.Κ.Δ.και Ε.Κ.Π. για να βιώσει ο αναγνώστης τη διαφορά μεταξύ “ διδακτικής προσέγγισης ” και “ αυστηρής μαθηματικής -λογικής διατύπωσης ” που γίνεται σε επόμενο κεφάλαιο . • Στο Κεφάλαιο 2 : Ορίζουμε την έννοια του πρώτου αριθμού και τονίζουμε ότι αναφερόμαστε σε θετικούς πρώτους αριθμούς (μονίμως ). Τεκμηριώνουμε την ύπαρξη των πρώτων αριθμών . Τονίζουμε με θεωρήματα τον ακανόνιστο τρόπο παρουσίας τους στο διατεταγμένο σύνολο των φυσικών αριθμών. Υπάρχουν μεγάλα κενά , ανάμεσα σε σε δύο διαδοχικούς ακέραιους αλλά υπάρχουν και πρώτοι αριθμοί που είναι πολύ κοντά ο ένας με τον άλλο , π.χ. οι δίδυμοι πρώτοι αριθμοί . Με το κόσκινο του Ερατοσθένη βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 100 . ( Είναι 25 σε πλήθος ). Τελικά κάθε φυσικός αριθμός και κατά συνέπεια κάθε ακέραιος αριθμός ,αναλύεται σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Έτσι , η διαιρετότητα ακεραίων ανάγεται σε ανισοτικές σχέσεις των εκθετών των πρώτων παραγόντων. Ορίζουμε ακολούθως τον Μ.Κ.Δ.και τα σχετικά θεωρήματα που καθορίζουν τη συμπεριφορά του. Με τη βοήθεια του Μ.Κ.Δ. ορίζονται οι έννοιες “ πρώτοι μεταξύ τους ” ....... Oρίζουμε το Ε.Κ.Π. ακεραίων , και με τα σχετικά θεωρήματα καθορίζουμε τη συμπεριφορά του και τη σχέση με τον Μ.Κ.Δ..Με τα πολλά παραδείγματα διευκρινίζονται οι έννοιες αφού κάθε έννοια “φωτίζεται από πολλές μεριές ” . • Στο Κεφάλαιο 3: Παρουσιάζουμε στοιχειώδεις εφαρμογές τις διαιρετότητας ακεραίων . Επιλύουμε απλές διοφαντικές εξισώσεις δηλαδή πολυωνυμικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές , στο σύνολο Z των ακεραίων αριθμών . Τα θεωρήματα , τα παραδείγματα , οι εφαρμογές , καλύπτουν το θέμα με ιδιαίτερα εφυιή τρόπο . Ορίζουμε τη συνάρτηση π(x) επανερχόμενοι στο θέμα των πρώτων αριθμών σε μια νέα “ υψηλότερου επιπέδου προσέγγιση ” . Ακολούθως αναφερόμαστε σε μερικά άλυτα προβλήματα της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών : Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί , εικασία ( ισχυριμός ) του Goldbach , πρώτοι αριθμοί του Mersenne ,τέλειοι αριθμοί , πρώτοι αριθμοί του Fermat . Οι στοιχειώδεις εφαρμογές που ακολοθούν , εμπλουτίζουν τον σχετικό προβληματισμό . Το νούμερο ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι η εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών, επειδή βρίσκουν εφαρμογές στο Στρατό , στη Βιομηχανία , στην Κρυπτογραφία , Κωδικοποίηση , Η / Υ. • Στο Κεφάλαιο 4: Ορίζουμε τους ισοϋπόλοιπους αριθμούς .Όλοι οι αριθμοί που είναι ισοϋπόλοιποι modulo m ορίζουν έναν νέο αριθμό (κλάση) που ονομάζεται “περιοδικός αριθμός” . Οι περιοδικοί αριθμοί είναι σαν τους ωροδείκτες ενός ρολογιού. Οι εφαρμογές είναι πολλές. Με τους ισοϋπόλοιπους αριθμούς modulo m επιλύουμε προβλήματα που αναφέρονται σε πολ/σια και αντιστρόφως . Ισχύει : α ≡ b mod m ⇔ m /α −b ⇔ α = b + πολ/σιο του m ⇔ α mod m = b mod m με τις απαραίτητες λεπτομέρειες . Τα παραδείγματα αφθονούν επειδή το θέμα είναι θεωρητικό και πολύ σπουδαίο .( Είναι περίπου η ουσία του βιβλίου) . Ακολούθως επιλύουμε γραμμικές ισοδυναμίες . Το θεώρημα του Κινέζου Sun – Tsu είναι κεντρικού ενδιαφέροντος . Ορίζουμε τους πρώτους περιοδικούς αριθμούς οι οποίοι είναι ακριβώς οι πρώτες κλάσεις υπολοίπων modulo m . Ακολουθούν δύο απόφασιστικής σημασίας ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑΤΑ για να μπορεί ο αναγνώστης να αισθάνεται άνεση σε “ δύσκολα ” θεωρητικά θέματα , π.χ. του τελευταίου Κεφαλαίου του βιβλίου . Τα παραδείγματα (πρωτότυπα στο σύνολό τους ) δεν αφήνουν κανένα “ σκοτεινό σημείο ” . Ορίζουμε τη συνάρτηση φ:N→N του Euler που έχει σπουδαίες εφαρμογές . Το Κεφάλαιο αυτό τελειώνει με το θεώρημα του Dirichlet το οποίο εφαρμόζουμε στο πρόβλημα της μορφής των πρώτων αριθμών. Στο Κεφάλαιο 5 : Δίνουμε τον ορισμό της πολ/στικής αριθμητικής συνάρτησης . Ανάμεσα στις πολλές τέτοιες συναρτήσεις τονίζουμε τη συνάρτηση του Μöbius . Τα θεωρήματα και οι εφαρμογές που ακολουθούν ,έχουν περίπου αυτοτελές περιεχόμενο . Ακολούθως αποδεικνύουμε το ( μικρό ) θεώρημα του Fermat : α φ(m) ≡ 1 mod m , (α , m) = 1 Το μεγάλο θεώρημα του Fermat που αφορά τη διοφαντική εξίσωση x n + y n= z n , n > 2 ήταν μέχρι το 1994 ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών . Επειδή έχει ήδη δημιουργηθεί μέχρι εδώ ένα κατάλληλο θεωρητικό υπόβαθρο γι αυτό ασχολούμαστε ακολούθως με μη γραμμικές ισοδυναμίες . Ακολουθεί το θεώρημα του Wilson ( p −1 )! ≡ −1 mod p , p πρώτος Το αντίστροφο θεώρημα του Wilson είναι ΚΡΙΤΗΡΙΟ με το οποίο μπορούμε να αποφανθούμε αν ένας φυσικός αριθμός n είναι πρώτος αριθμός ή σύνθετος . Ορίζουμε επίσης τις αρχικές ρίζες modulo p , όπου p είναι πρώτος αριθμός .Ορίζουμε τον δείκτη μιας πρώτης κλάσης υπολοίπων modulo p και είναι καταπληκτικό ότι με “ πολλά θεωρήματα ” εμβαθύνουμε στο θέμα της διαιρετότητας ακεραίων , αφού βρίσκουμε έγκυρες ισοδυναμίες . Το Κεφάλαιο κλείνει με τα τετραγωνικά υπόλοιπα και τα σύμβολα του Legendre και του Jacobi που σχετίζονται ευθέως με αυτά . Τα παραδείγματα διακρίνονται για την πληρότητά τους και την πεντακάθαρη παρουσίασή τους , αποτέλεσμα της μεγάλης διδακτικής εμπειρίας του συγγραφέα και του ακόμη μεγαλύτερου ζήλου του για κατανοητή παρουσίαση των “ δύσκολων Μαθηματικών ” και όχι μόνο .

Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών Ι

kyventi — Tue, 12 Nov 2013 09:12:35 +0000

Κεφάλαιο 1 : Διαιρετότητα
∙ Μαθηματική επαγωγή
∙ Ευκλείδεια διαίρεση
∙ Διαιρετότητα
∙ Μ.Κ.Δ. και Ε.Κ.Π. (Εισαγωγή)

Κεφάλαιο 2 : Πρώτοι Αριθμοί
∙ Το σύνολο των πρώτων αριθμών
∙ Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
∙ Μ.Κ.Δ.
∙ Ε.Κ.Π.

Κεφάλαιο 3 : Στοιχειώδεις Εφαρμογές
∙ Απλές εφαρμογές
∙ Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις
∙ Η συνάρτηση π(x)
∙ Μερικά άλυτα προβλήματα
∙ Στοιχειώδεις εφαρμογές

Κεφάλαιο 4 : Περιοδικοί αριθμοί
∙ Ισοϋπόλοιποι ακέραιοι αριθμοί
∙ Εφαρμογές
∙ Περιοδικοί αριθμοί
∙ Εφαρμογές
∙ Γραμμικές ισοδυναμίες
∙ Πρώτοι περιοδικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 5 : Θεωρήματα
∙ Πολ/στικές αριθμητικές συναρτήσεις
∙ Το μικρό / μεγάλο θεώρημα του Fermat
∙ Μη γραμμικές ισοδυναμίες
∙ Αρχικές ρίζες modulo p
∙ Τετραγωνικά υπόλοιπα