Placeholder

Θεωρία Αριθμών Ι

3€

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Σε πέντε κεφάλαια
1)Διαιρετότητα
2) Πρώτοι αριθμοί
3) Στοιχειώδεις εφαρμογές
4) Περιοδικοί αριθμοί
5) Θεωρήματα
αναπτύσσουμε τη στοιχειώδη ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ .
Συγκεκριμένα :
• Στο Κεφάλαιο 1: Παρουσιάζουμε συνοπτικά τη δόμηση του συνόλου N των φυσικών αριθμών από τα αξιώματα του Peano .
Τονίζουμε τις δύο μορφές της μαθηματικής επαγωγής .
Σε “ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑ” παρουσιάζουμε συνοπτικά αλλά επί της ουσίας τη μέθοδο της υπερπεπερασμένης επαγωγής που είναι η γενίκευση της γνωστής μαθηματικής επαγωγής .
Ορίζουμε την Ευκλείδεια διαίρεση που έχει μικροδιαφορές με τη συνήθη διαίρεση φυσικών αριθμών , και με παραδείγματα και εφαρμογές εισάγουμε τον αναγνώστη κατ’ ευθείαν στην ουσία του θέματος .
Ορίζουμε τη διαιρετότητα στο σύνολο Z των ακεραίων αριθμών και ταξινομούμε μνημονικά λογικά του νόμους της διαιρετότητας .
Οι εφαρμογές τονίζουν συγχρόνως, στοιχειώδεις βασικές τεχνικές της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών .Ακολούθως εισάγουμε τον αναγνώστη στο Μ.Κ.Π. και το Ε.Κ.Π. με πολλούς αριθμούς .Φυσικά ο Μ.Κ.Δ. είναι “ σπουδαιότερος από το Ε.Κ.Π. ” ή καλύτερα το Ε.Κ.Π. σχετίζεται με τον Μ.Κ.Δ. αλλά εμείς εδώ υπογραμίζουμε την στοιχειώδη οδό.
Σχολιάζουμε την αναγκαιότητα λογικά ορθού ορισμού του Μ.Κ.Δ.και Ε.Κ.Π. για να βιώσει ο αναγνώστης τη διαφορά μεταξύ “ διδακτικής προσέγγισης ” και “ αυστηρής μαθηματικής -λογικής διατύπωσης ” που γίνεται σε επόμενο κεφάλαιο .
• Στο Κεφάλαιο 2 : Ορίζουμε την έννοια του πρώτου αριθμού και τονίζουμε ότι αναφερόμαστε σε θετικούς πρώτους αριθμούς (μονίμως ).
Τεκμηριώνουμε την ύπαρξη των πρώτων αριθμών .
Τονίζουμε με θεωρήματα τον ακανόνιστο τρόπο παρουσίας τους στο διατεταγμένο σύνολο των φυσικών αριθμών.
Υπάρχουν μεγάλα κενά , ανάμεσα σε σε δύο διαδοχικούς ακέραιους αλλά υπάρχουν και πρώτοι αριθμοί που είναι πολύ κοντά ο ένας με τον άλλο , π.χ. οι δίδυμοι πρώτοι αριθμοί .
Με το κόσκινο του Ερατοσθένη βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 100 . ( Είναι 25 σε πλήθος ).
Τελικά κάθε φυσικός αριθμός και κατά συνέπεια κάθε ακέραιος αριθμός ,αναλύεται σε γινόμενο πρώτων αριθμών.
Έτσι , η διαιρετότητα ακεραίων ανάγεται σε ανισοτικές σχέσεις των εκθετών των πρώτων παραγόντων.
Ορίζουμε ακολούθως τον Μ.Κ.Δ.και τα σχετικά θεωρήματα που καθορίζουν τη συμπεριφορά του. Με τη βοήθεια του Μ.Κ.Δ. ορίζονται οι έννοιες “ πρώτοι μεταξύ τους ” …….
Oρίζουμε το Ε.Κ.Π. ακεραίων , και με τα σχετικά θεωρήματα καθορίζουμε τη συμπεριφορά του και τη σχέση με τον Μ.Κ.Δ..Με τα πολλά παραδείγματα διευκρινίζονται οι έννοιες αφού κάθε έννοια “φωτίζεται από πολλές μεριές ” .
• Στο Κεφάλαιο 3: Παρουσιάζουμε στοιχειώδεις εφαρμογές τις διαιρετότητας ακεραίων .
Επιλύουμε απλές διοφαντικές εξισώσεις δηλαδή πολυωνυμικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές , στο σύνολο Z των ακεραίων αριθμών .
Τα θεωρήματα , τα παραδείγματα , οι εφαρμογές , καλύπτουν το θέμα με ιδιαίτερα εφυιή τρόπο .
Ορίζουμε τη συνάρτηση π(x) επανερχόμενοι στο θέμα των πρώτων αριθμών σε μια νέα “ υψηλότερου επιπέδου προσέγγιση ” .
Ακολούθως αναφερόμαστε σε μερικά άλυτα προβλήματα της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών : Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί , εικασία ( ισχυριμός ) του Goldbach , πρώτοι αριθμοί του Mersenne ,τέλειοι αριθμοί , πρώτοι αριθμοί του Fermat .
Οι στοιχειώδεις εφαρμογές που ακολοθούν , εμπλουτίζουν τον σχετικό προβληματισμό .
Το νούμερο ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι η εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών, επειδή βρίσκουν εφαρμογές στο Στρατό , στη Βιομηχανία , στην Κρυπτογραφία , Κωδικοποίηση , Η / Υ.
• Στο Κεφάλαιο 4: Ορίζουμε τους ισοϋπόλοιπους αριθμούς .Όλοι οι αριθμοί που είναι ισοϋπόλοιποι modulo m ορίζουν έναν νέο αριθμό (κλάση) που ονομάζεται “περιοδικός αριθμός” .
Οι περιοδικοί αριθμοί είναι σαν τους ωροδείκτες ενός ρολογιού.
Οι εφαρμογές είναι πολλές.
Με τους ισοϋπόλοιπους αριθμούς modulo m επιλύουμε προβλήματα που αναφέρονται σε πολ/σια και αντιστρόφως .

Ισχύει :
α ≡ b mod m ⇔
m /α −b ⇔
α = b + πολ/σιο του m ⇔
α mod m = b mod m

με τις απαραίτητες λεπτομέρειες .
Τα παραδείγματα αφθονούν επειδή το θέμα είναι θεωρητικό και πολύ σπουδαίο .( Είναι περίπου η ουσία του βιβλίου) .
Ακολούθως επιλύουμε γραμμικές ισοδυναμίες . Το θεώρημα του Κινέζου Sun – Tsu είναι κεντρικού ενδιαφέροντος .
Ορίζουμε τους πρώτους περιοδικούς αριθμούς οι οποίοι είναι ακριβώς οι πρώτες κλάσεις υπολοίπων modulo m . Ακολουθούν δύο απόφασιστικής σημασίας ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑΤΑ για να μπορεί ο αναγνώστης να αισθάνεται άνεση σε “ δύσκολα ” θεωρητικά θέματα , π.χ. του τελευταίου Κεφαλαίου του βιβλίου .
Τα παραδείγματα (πρωτότυπα στο σύνολό τους ) δεν αφήνουν κανένα “ σκοτεινό σημείο ” .
Ορίζουμε τη συνάρτηση

φ:N→N

του Euler που έχει σπουδαίες εφαρμογές .
Το Κεφάλαιο αυτό τελειώνει με το θεώρημα του Dirichlet το οποίο εφαρμόζουμε στο πρόβλημα της μορφής των πρώτων αριθμών.
Στο Κεφάλαιο 5 : Δίνουμε τον ορισμό της πολ/στικής αριθμητικής συνάρτησης . Ανάμεσα στις πολλές τέτοιες συναρτήσεις τονίζουμε τη συνάρτηση του Μöbius .
Τα θεωρήματα και οι εφαρμογές που ακολουθούν ,έχουν περίπου αυτοτελές περιεχόμενο .
Ακολούθως αποδεικνύουμε το ( μικρό ) θεώρημα του Fermat :

α φ(m) ≡ 1 mod m , (α , m) = 1

Το μεγάλο θεώρημα του Fermat που αφορά τη διοφαντική εξίσωση

x n + y n= z n , n > 2

ήταν μέχρι το 1994 ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών .
Επειδή έχει ήδη δημιουργηθεί μέχρι εδώ ένα κατάλληλο θεωρητικό υπόβαθρο γι αυτό ασχολούμαστε ακολούθως με μη γραμμικές ισοδυναμίες .
Ακολουθεί το θεώρημα του Wilson

( p −1 )! ≡ −1 mod p , p πρώτος

Το αντίστροφο θεώρημα του Wilson είναι ΚΡΙΤΗΡΙΟ με το οποίο μπορούμε να αποφανθούμε αν ένας φυσικός αριθμός n είναι πρώτος αριθμός ή σύνθετος .
Ορίζουμε επίσης τις αρχικές ρίζες modulo p , όπου p είναι πρώτος αριθμός .Ορίζουμε τον δείκτη μιας πρώτης κλάσης υπολοίπων modulo p και είναι καταπληκτικό ότι με “ πολλά θεωρήματα ” εμβαθύνουμε στο θέμα της διαιρετότητας ακεραίων , αφού βρίσκουμε έγκυρες ισοδυναμίες .
Το Κεφάλαιο κλείνει με τα τετραγωνικά υπόλοιπα και τα σύμβολα του Legendre και του Jacobi που σχετίζονται ευθέως με αυτά .
Τα παραδείγματα διακρίνονται για την πληρότητά τους και την πεντακάθαρη παρουσίασή τους , αποτέλεσμα της μεγάλης διδακτικής εμπειρίας του συγγραφέα και του ακόμη μεγαλύτερου ζήλου του για κατανοητή παρουσίαση των “ δύσκολων Μαθηματικών ” και όχι μόνο .

SKU: 978-960-6747-42-7.
Σελίδες: 221 Category: .

Product Description

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Διαιρετότητα
1.Μαθηματική Επαγωγή
2.Ευκλείδεια διαίρεση
3.Διαιρετότητα
4.Μ.Κ.Δ.- Ε.Κ.Π. ( Εισαγωγή )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Πρώτοι Αριθμοί
1. Το σύνολο των πρώτων αριθμών
Κόσκινο του Ερατοσθένη
2. Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
3. Μ.Κ.Δ
4. Ε.Κ.Π.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Στοιχειώδεις Εφαρμογές
1.Απλές εφαρμογές
2.Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις
3.Η συνάρτηση π(x)
4.Μερικά άλυτα προβλήματα
Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
Εικασία του Goldbach
Πρώτοι αριθμοί του Mersenne
Τέλειοι φυσικοί αριθμοί
Πρώτοι αριθμοί του Fermat
5. Στοιχειώδεις εφαρμογές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
Περιοδικοί αριθμοί
1.Ισοϋπόλοιποι ακέραιοι αριθμοί
2.Εφαρμογές
3.Περιοδικοί αριθμοί
4.Εφαρμογές
5.Γραμμικές ισοδυναμίες
6.Πρώτοι περιοδικοί αριθμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5
Θεωρήματα
1. Πολ/στικές αριθμητικές συναρτήσεις
Συνάρτηση του Möbius
2. Το μικρό θεώρημα του Fermat
To μεγάλο θεώρημα του Fermat
3. Μη γραμμικές ισοδυναμίες
Θεώρημα του Wilson
4. Αρχικές ρίζες modulo p
5. Τετραγωνικά υπόλοιπα
Σύμβολο του Legendre
Σύμβολο του Jacobi